A veces, una integral de apariencia difícil se reduce a otra conocida si se cambia adecuadamente la variable de integración. Cuando se hace eso, dx se suele calcular derivando la relación entre x y la nueva variable. Al final, debe darse el resultado en términos de la primera variable x.
Ejemplo
Para calcular la integral de sen x. cos x efectuamos el cambio siguiente:
sen x = t de donde cos x dx = dt y, por tanto:
la integral de t dt = t2/2 + c = sen2 x/2 + c
viernes, 22 de enero de 2010
MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN
A veces, para calcular la integral de una función f, conviene descomponer f(x) en suma de otras funciones que sepamos integrar; si lo logramos, hallamos la integral integrando cada sumando. El siguiente ejemplo es una muestra de ello.
∫ (x2 – x -1 + 3ex) dx = ∫ x2 dx - ∫ 1/x dx + 3 ∫ ex dx = x3/3 -ln|x| + 3ex + c
Otras veces, la descomposición se consigue expresando una fracción como suma de fracciones y simplificando cada una de éstas.
∫ (x2 – x -1 + 3ex) dx = ∫ x2 dx - ∫ 1/x dx + 3 ∫ ex dx = x3/3 -ln|x| + 3ex + c
Otras veces, la descomposición se consigue expresando una fracción como suma de fracciones y simplificando cada una de éstas.
INTEGRALES INMEDIATAS
Los siguientes resultados son consecuencia inmediata de las correspondientes propiedades de las derivadas. Se les llama integrales inmediatas.
∫ adx = ax + c
∫ x-1 dx = 1/x dx = ln |x| + c
∫ ax dx = ∫ ax/ln a + c
∫ cos x dx = sen x + c
∫ 1/sen2 x dx = ∫ (1 + ctg2 x) dx = -ctg x + c
_____
∫ 1/ √1 – x2 dx = arcsen x + c
∫ xn dx = xn+1/n+1 + c (n ≠ -1)
∫ ex dx = ex + c
∫ sen x dx = -cos x + c
∫ 1/cos2 x dx = ∫ (1 + tg2 x) dx = tg x + c
∫ 1/1 + x2 dx = arctg x + c
Estos resultados, dados sin más, dan poco juego, se acaban en sí mismos. Necesitamos nuevas reglas que nos permitan enriquecer la gama de funciones que sabemos integrar. Vamos a ello en la siguiente entrada.
∫ adx = ax + c
∫ x-1 dx = 1/x dx = ln |x| + c
∫ ax dx = ∫ ax/ln a + c
∫ cos x dx = sen x + c
∫ 1/sen2 x dx = ∫ (1 + ctg2 x) dx = -ctg x + c
_____
∫ 1/ √1 – x2 dx = arcsen x + c
∫ xn dx = xn+1/n+1 + c (n ≠ -1)
∫ ex dx = ex + c
∫ sen x dx = -cos x + c
∫ 1/cos2 x dx = ∫ (1 + tg2 x) dx = tg x + c
∫ 1/1 + x2 dx = arctg x + c
Estos resultados, dados sin más, dan poco juego, se acaban en sí mismos. Necesitamos nuevas reglas que nos permitan enriquecer la gama de funciones que sabemos integrar. Vamos a ello en la siguiente entrada.
INTEGRAL INDEFINIDA
Según acabamos de ver en la entrada anterior, una función f(x) puede tener infinitas primitivas que se diferencian unas de otras en una constante.
El conjunto de todas las primitivas de f(x) se llama integral indefinida de f(x).
Se representa por: ∫ f(x) dx
Por tanto, si F(x) es una primitiva de f(x), se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C donde C es la llamada constante de integración.
Ejemplos
1. ∫ 3x2 dx = x3 + C
2. ∫ cos x dx = sen x + C
El cálculo de primitivas, además de un simple juego de ingenio (a ver si eres capaz de averiguar una función cuya derivada sea...) es un ejercicio de importancia capital por las múltiples aplicaciones que presenta. En la siguiente entrada veremos unas reglas que nos permitirán obtener, con cierta soltura, la integral indefinida de algunas funciones.
El conjunto de todas las primitivas de f(x) se llama integral indefinida de f(x).
Se representa por: ∫ f(x) dx
Por tanto, si F(x) es una primitiva de f(x), se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C donde C es la llamada constante de integración.
Ejemplos
1. ∫ 3x2 dx = x3 + C
2. ∫ cos x dx = sen x + C
El cálculo de primitivas, además de un simple juego de ingenio (a ver si eres capaz de averiguar una función cuya derivada sea...) es un ejercicio de importancia capital por las múltiples aplicaciones que presenta. En la siguiente entrada veremos unas reglas que nos permitirán obtener, con cierta soltura, la integral indefinida de algunas funciones.
PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
El concepto de primitiva es el recíproco al de derivada.
Hasta ahora nuestro objetivo ha sido: Dada una función g, hallar su función derivada g’.
Obviamente, el problema inverso sería éste: suponiendo que nos dan g’, hallar la función g. Pero, como distintas funciones pueden tener la misma derivada, éste es un problema que no tiene solución única, de modo que lo enunciaremos de forma más precisa así: Suponiendo que se conoce una función f, se trata de hallar otra función F que cumpla la condición F’ = f.
Una función F(x) se dice que es primitiva de una función f(x) si F’(x) = f(x).
Ejemplo
1. F(x) = x3 es una primitiva de f(x) = 3x2, dado que F’(x) = 3x2 = f(x)
2. F(x) = sen x es una primitiva de f(x) = cos x, pues F’(x) = cos x = f(x)
Para concluir, si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x) + C, siendo C cualquier número real.
Hasta ahora nuestro objetivo ha sido: Dada una función g, hallar su función derivada g’.
Obviamente, el problema inverso sería éste: suponiendo que nos dan g’, hallar la función g. Pero, como distintas funciones pueden tener la misma derivada, éste es un problema que no tiene solución única, de modo que lo enunciaremos de forma más precisa así: Suponiendo que se conoce una función f, se trata de hallar otra función F que cumpla la condición F’ = f.
Una función F(x) se dice que es primitiva de una función f(x) si F’(x) = f(x).
Ejemplo
1. F(x) = x3 es una primitiva de f(x) = 3x2, dado que F’(x) = 3x2 = f(x)
2. F(x) = sen x es una primitiva de f(x) = cos x, pues F’(x) = cos x = f(x)
Para concluir, si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x) + C, siendo C cualquier número real.
miércoles, 20 de enero de 2010
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
La obtención de primitivas es un proceso inverso al de derivación. En este blog verás distintas técnicas para resolver los diferentes tipos de integrales que podemos encontrar.
A diferencia de la derivación de funciones, proceso mecánico de aplicar una serie de fórmulas, el cálculo de integrales es más complejo, convirtiéndose casi en un arte, ya que son pocas las funciones cuya primitiva puede ser expresada como combinación de funciones fundamentales.
Las técnicas de integración que se explicaran en este blog son las siguientes:
-Método de sustitución o cambio de variable.
-Integración por partes.
-Integración de funciones racionales.
-Integración de funciones trigonométricas.
Para explicar las técnicas de integración se desarrollarán ejemplos simples de la técnica en cuestión. Posteriormente se pasará a una serie de ejercicios resueltos y finalmente otra serie de ejercicios propuestos.
A diferencia de la derivación de funciones, proceso mecánico de aplicar una serie de fórmulas, el cálculo de integrales es más complejo, convirtiéndose casi en un arte, ya que son pocas las funciones cuya primitiva puede ser expresada como combinación de funciones fundamentales.
Las técnicas de integración que se explicaran en este blog son las siguientes:
-Método de sustitución o cambio de variable.
-Integración por partes.
-Integración de funciones racionales.
-Integración de funciones trigonométricas.
Para explicar las técnicas de integración se desarrollarán ejemplos simples de la técnica en cuestión. Posteriormente se pasará a una serie de ejercicios resueltos y finalmente otra serie de ejercicios propuestos.
lunes, 4 de enero de 2010
HISTORIA DEL CÁLCULO INTEGRAL
La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del cálculo.
El concepto de cálculo, se comenzó a formar, desde que el hombre vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la creación de sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los dedos o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría de los problemas que se presentaban con frecuencia.
Las principales ideas que apuntalan el cálculo se desarrollaron durante un periodo de tiempo muy largo sin duda. Los primeros pasos fueron dados por los matemáticos griegos. Para los antiguos griegos, los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía 'hoyos' en ella. Le dieron la vuelta a esta dificultad usando longitudes, áreas y volúmenes además de números ya que, para los griegos, no todas las longitudes eran números.
Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es 4/3 del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas
A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64,...
El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:
A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A.
Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita.
Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π.
Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmento de un hiperboloide de revolución.
No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad. Johannes Kepler (1571-1630), astrónomo alemán, en su trabajo sobre movimientos planetarios, tenía que encontrar el área de sectores de una elipse. Su método consistía en pensar en las áreas como sumas de líneas, otra forma rudimentaria de integración, pero Kepler tenía poco tiempo para el rigor griego y más bien tuvo suerte de obtener la respuesta correcta ya que cometió dos errores que se cancelaron uno al otro en su trabajo.
A René Descartes (1596-1650), francés, se le considera creador de la Geometría Analítica junto con su paisano Pierre de Fermat. Descartes permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc., fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica.
Tres matemáticos, nacidos en un periodo de tres años, fueron los siguientes en hacer contribuciones importantes. Eran Fermat, Roberval y Cavalieri. Buenaventura Cavalieri (1598-1647), italiano, llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. En su geometría de los indivisibles calculó la longitud de líneas, áreas y volúmenes recurriendo a sumas.
Gilles Roberval (1602-1675), francés, consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados.
Pierre de Fermat (1601-1665), francés, también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Generalizó la parábola y la hipérbola. También investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X. Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a este trabajo Lagrange afirmó claramente que él consideraba a Fermat como el inventor del cálculo.
Christian Huygens (1629-1695), holandés, criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.
El siguiente paso importante lo dio Isaac Barrow (1630-1677), inglés, maestro de Newton, quien descubrió que el problema de calcular el área con arreglo a una curva es el inverso del cálculo de la pendiente de la tangente, método conocido como triángulo diferencial de Barrow. Al segundo teorema fundamental del cálculo integral también se le conoce como Regla de Barrow en honor a él.
Barrow estudió el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una noción de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado el cual Newton concretaría.
Isaac Newton (1642-1727), inglés, estudió en el Trinity College de Cambridge. Durante la plaga (1665-66) se cerró la universidad y volvió a su hogar. En esos dos años toda la estructura de la ciencia moderna surgió en su mente, descubriendo, entre otras cosas, el cálculo. Regresó al Trinity College en 1667 y después de graduarse sucedió a su profesor Barrow en la Cátedra (1669). Newton desarrollo un método propio que denominó Cálculo de fluxiones. Basó su concepción en la noción de velocidad de partículas, considerando lo que él llamó crecimiento instantáneo. También calculó áreas mediante este método y su obra contiene el primer enunciado claro del Teorema Fundamental del Cálculo. Gottfried Leibniz (1646-1716), alemán aprendió mucho en un viaje por Europa en el que conoció a Huygens en París en 1672.
Newton consideraba que las variables cambiaban con el tiempo. Leibniz pensaba que las variables x, y variaban sobre secuencias de valores infinitamente cercanos. Introdujo a dx y dy como las diferencias entre valores consecutivos de esas secuencias. Leibniz sabía que dx/dy da la tangente pero no la usó como una propiedad que defina.
Para Newton, la integración consistía en encontrar flujos para una fluxión dada así que se implica el hecho de que la integración y la diferenciación son inversas. Leibniz usaba la integral como una suma, de forma muy similar a la de Cavalieri. También estaba contento con el uso de las 'infinitesimales' dx y dy mientras que Newton usaba x' y y' que eran velocidades finitas. Por supuesto que ni Leibniz ni Newton pensaban en términos de funciones, pero ambos pensaban siempre en términos de gráficas. Para Newton, el cálculo era geométrico mientras que Leibniz lo llevó hacia el análisis.
Leibniz estaba bien consciente de que encontrar una buena notación era sumamente importante y pensó en ella mucho tiempo. Newton, por otro lado, escribió más bien para él mismo y, como consecuencia, tendía a usar cualquier notación que se lo ocurriera ese día. La notación d y ∫ de Leibniz destacaban el aspecto de operadores que probaría ser importante más adelante. A pesar de la ágria disputa epistolar entre ellos motivada por acusaciones mutuas de plagio ambos se profesaban una gran admiración.
Después de Newton y Leibniz, el desarrollo del cálculo fue continuado por Jacobo Bernoulli (1654-1705), matemático suizo que se carteaba con frecuencia con Leibniz y quien acuñó la palabra integral como término del cálculo en el año 1690, y su hermano menor Juan Bernoulli (1667-1748) quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742.
Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmento de un hiperboloide de revolución.
No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad. Johannes Kepler (1571-1630), astrónomo alemán, en su trabajo sobre movimientos planetarios, tenía que encontrar el área de sectores de una elipse. Su método consistía en pensar en las áreas como sumas de líneas, otra forma rudimentaria de integración, pero Kepler tenía poco tiempo para el rigor griego y más bien tuvo suerte de obtener la respuesta correcta ya que cometió dos errores que se cancelaron uno al otro en su trabajo.
A René Descartes (1596-1650), francés, se le considera creador de la Geometría Analítica junto con su paisano Pierre de Fermat. Descartes permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc., fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica.
Tres matemáticos, nacidos en un periodo de tres años, fueron los siguientes en hacer contribuciones importantes. Eran Fermat, Roberval y Cavalieri. Buenaventura Cavalieri (1598-1647), italiano, llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. En su geometría de los indivisibles calculó la longitud de líneas, áreas y volúmenes recurriendo a sumas.
Gilles Roberval (1602-1675), francés, consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados.
Pierre de Fermat (1601-1665), francés, también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Generalizó la parábola y la hipérbola. También investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X. Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a este trabajo Lagrange afirmó claramente que él consideraba a Fermat como el inventor del cálculo.
Christian Huygens (1629-1695), holandés, criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.
El siguiente paso importante lo dio Isaac Barrow (1630-1677), inglés, maestro de Newton, quien descubrió que el problema de calcular el área con arreglo a una curva es el inverso del cálculo de la pendiente de la tangente, método conocido como triángulo diferencial de Barrow. Al segundo teorema fundamental del cálculo integral también se le conoce como Regla de Barrow en honor a él.
Barrow estudió el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una noción de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado el cual Newton concretaría.
Isaac Newton (1642-1727), inglés, estudió en el Trinity College de Cambridge. Durante la plaga (1665-66) se cerró la universidad y volvió a su hogar. En esos dos años toda la estructura de la ciencia moderna surgió en su mente, descubriendo, entre otras cosas, el cálculo. Regresó al Trinity College en 1667 y después de graduarse sucedió a su profesor Barrow en la Cátedra (1669). Newton desarrollo un método propio que denominó Cálculo de fluxiones. Basó su concepción en la noción de velocidad de partículas, considerando lo que él llamó crecimiento instantáneo. También calculó áreas mediante este método y su obra contiene el primer enunciado claro del Teorema Fundamental del Cálculo. Gottfried Leibniz (1646-1716), alemán aprendió mucho en un viaje por Europa en el que conoció a Huygens en París en 1672.
Newton consideraba que las variables cambiaban con el tiempo. Leibniz pensaba que las variables x, y variaban sobre secuencias de valores infinitamente cercanos. Introdujo a dx y dy como las diferencias entre valores consecutivos de esas secuencias. Leibniz sabía que dx/dy da la tangente pero no la usó como una propiedad que defina.
Para Newton, la integración consistía en encontrar flujos para una fluxión dada así que se implica el hecho de que la integración y la diferenciación son inversas. Leibniz usaba la integral como una suma, de forma muy similar a la de Cavalieri. También estaba contento con el uso de las 'infinitesimales' dx y dy mientras que Newton usaba x' y y' que eran velocidades finitas. Por supuesto que ni Leibniz ni Newton pensaban en términos de funciones, pero ambos pensaban siempre en términos de gráficas. Para Newton, el cálculo era geométrico mientras que Leibniz lo llevó hacia el análisis.
Leibniz estaba bien consciente de que encontrar una buena notación era sumamente importante y pensó en ella mucho tiempo. Newton, por otro lado, escribió más bien para él mismo y, como consecuencia, tendía a usar cualquier notación que se lo ocurriera ese día. La notación d y ∫ de Leibniz destacaban el aspecto de operadores que probaría ser importante más adelante. A pesar de la ágria disputa epistolar entre ellos motivada por acusaciones mutuas de plagio ambos se profesaban una gran admiración.
Después de Newton y Leibniz, el desarrollo del cálculo fue continuado por Jacobo Bernoulli (1654-1705), matemático suizo que se carteaba con frecuencia con Leibniz y quien acuñó la palabra integral como término del cálculo en el año 1690, y su hermano menor Juan Bernoulli (1667-1748) quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742.
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