SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTICA

INTEGRALES RACIONALES

En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:
1º Integrales racionales con raíces reales simples
La fracción puede escribirse así:

Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.
Ejemplo




Se efectúa la suma:

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.





2º Integrales racionales con raíces reales múltiples
La fracción puede escribirse así:

Ejemplo




Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más.







3º Integrales racionales con raíces complejas simples
La fracción puede escribirse así:

Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de tipo arcotangente.

Ejemplo



Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:

INTEGRACIÓN POR PARTES

Fractales

EJERCICIOS RESUELTOS

A continuación se presentan una serie de ejercicios resueltos, paso por paso.

MÉTODO DEL CAMBIO DE VARIABLE

A veces, una integral de apariencia difícil se reduce a otra conocida si se cambia adecuadamente la variable de integración. Cuando se hace eso, dx se suele calcular derivando la relación entre x y la nueva variable. Al final, debe darse el resultado en términos de la primera variable x.

Ejemplo

Para calcular la integral de sen x. cos x efectuamos el cambio siguiente:
sen x = t de donde cos x dx = dt y, por tanto:

la integral de t dt = t2/2 + c = sen2 x/2 + c

MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN

A veces, para calcular la integral de una función f, conviene descomponer f(x) en suma de otras funciones que sepamos integrar; si lo logramos, hallamos la integral integrando cada sumando. El siguiente ejemplo es una muestra de ello.

∫ (x2 – x -1 + 3ex) dx = ∫ x2 dx - ∫ 1/x dx + 3 ∫ ex dx = x3/3 -ln|x| + 3ex + c

Otras veces, la descomposición se consigue expresando una fracción como suma de fracciones y simplificando cada una de éstas.